关节路径插值算法三次多项式插值
三次多项式插值是最基本的也是最早应用于机器人手臂路径规划的方法之一，它的函数表达式简单而且加速度曲线是连续的，能够得到平滑的位移和速度曲线。
焊接机器人各关节在每条路径中起始点的关节角度θo均是己知的，而在终止点的关节角度θf可以由机械臂在终止点的位姿并通过逆运动学的方法计算出来。因此关节空间路径规划可以用起始点到终止点之间一个平滑的角度插值函数θ(t)来描述。θ(t)在t=0时的初始角度为θf。在终止时刻t = tf时的终止角度为θf，显然在这个过程中可能有多个插值函数满足条件，如下图6.1所示。
为了使焊接机器人能够平稳连续的进行工作，需要给出约束条件，首先机械臂各关节在起始点和终止点满足相应的角度即:
而为了满足机器人运动速度在开始段和结束段平稳的要求，给出角速度的约束条件即开始和结束的角速度均为零:
由式(6-1)和式(6-2)可以确定唯一的三次多项式运动路径:
则由关节角度可以求得关节角速度和角加速度:
联立(6-1)，(6-2) . (6-3)，(6-4)式得:
则关节以三次多项式插值函数表示的路径为:
焊接机器人但是这个三次多项式函数路径成立的条件是:关节开始和结束运动时的角速度均为0，不为0的情况后面将讨论。