喷涂机器人弧形轨迹规划相对于直线的轨迹规划而言要复杂一些。为了方便计算，通常需要先将三维空间的弧形转化到二维平面中进行插补，再将二维平面中经过插补得到的插补点转换到三维空间中，此过程中需要用到坐标变换，换句话说就是要在弧形所在平面内建立一个新直角坐标系，然后在所建立的新的平面坐标系中解出弧形的各个插补值，再通过坐标变换使其回到初始空间，再求解在初始空间的值。众所周知，一个平面内确定一段弧形至少需要三个点。故可以设喷涂机器人末端的坐标系从起点再经过过渡点
最后到目标点
，若这三个点不共线，就存在从
经过
再到
的弧形。
(1) 首先求解弧形的圆心和半径
先设置确定三个不共线的点组成了一个平面
，其组成的方程为:
将此方程展开成：
在根据其特性可知，过线段 的中点并且和
垂直的平面
的方程是：
根据上面得到的三个平面的方程，联立三个方程，则可以用消去法得到三个点组成的弧形的圆心
这里需要说明的是若在求解析解的时候全程都用消去法来求解方程组，则会出现非常多的分子分母的情况，需要讨论分母为零的情况，计算量大，过程复杂，所以这里可以直接利用MATLAB中解线性方程组的方法，先将三个方程变形为关于x、y、z的线性方程组，编入MATLAB中再进行计算，会大大的节约计算量。
再根据得到的圆心 求出弧形的半径为：
如图所示，将新坐标系的原点定义在圆心
处，并定义
的方向为
轴的方向，他的单位方向向量为：
通过上述的步骤(1)~(5)可以得到各个插补点的位置，再本局本文第二章求解逆运动学方法得到这些点所对应的角度值，这些角度值就是我们所求的关节输入值。