机器人运动学求解的基础公式 机器人位姿描述和齐次变换 为了描述机器人本身各连杆之间、机器人和环境(操作对象和障碍物)之间的运动关系，通常将它们都当成刚体，研究各刚体之间的运动关系。刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿，其描述的方法较多，如齐次变换法、矢量 法、旋量法和四元数法等。本文采用齐次变换法，其优点在于它将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来，并且利用它来研究空间机构运动学和动力学、机器人控制算法、计算机图形学和视觉信息处理非常方便，具有很大的优势. 刚体的位姿描述 机器人常用坐标系 机器人中常用的坐标系有基座坐标系、腕部坐标系、工具坐标系、目标坐标系和工作台坐标系等.固定在大地上的基座坐标系又称为笛卡尔坐标系，作为机器人的总体坐标系;建立在机器人连杆上的坐标系称为附体坐标系.对物体进行操作时，工具坐标系相对于目标坐标系的位姿直接影响操作的效果，是机器人控制和规划的目标，也是下文研究机器人运动学问题的一个关健. n自由度机器人的末端，也称为机器人手爪，与其固接的坐标系的原点通常取夹手所夹持的工具的终点或者夹手顶端的正中点，就是上面提到的工具坐标系，又称为手爪坐标系，如图2.3所示。通常用一个矩阵T来表示机器人末端位姿。 其中: z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量a, y轴设在两手指的连线的方向，称为方位矢量o， x轴根据右手定则确定:n=o×a，称为法向矢量n, 机器人末端位置，表示为手爪坐标系原点在基座坐标系中的位置矢量P。 显然，矢量n, o和a描述了机器人末端的姿态，而矢量P则描述了其位置。 对于多关节机器人，每个关节的运动都会对末端位姿产生影响.每个关节都有自 己的坐标系，其运动都相对于自身坐标系度量，所以为了将度量结果表示在相邻 的坐标系中，就需要进行坐标变换。 齐次坐标和齐次变换 齐次坐标是用n+1维坐标来描述n维空间中的位置，其中第n+1个分量称为比例因子。引入齐次坐标不仅便于坐标变换的数学表达，而且具有坐标值缩放的功能.机器人的运动通常是由转动和平移组成，为了能用一个矩阵表示转动和平移，我们引入齐次变换的概念.齐次变换矩阵是4x4矩阵，它能把一个由齐次坐标表示的位置矢量在不同坐标系间映射。在机器人系统的运动分析中，齐次变换矩阵表示为: 式(2.4)和式(2.8)都是基本齐次变换矩阵，二者可以相乘得到合成齐次变换矩阵，但是必须注意矩阵的相乘次序.若是相对于固定坐标系进行坐标变换，则算子应当右乘;反之，若是相对于动坐标系进行坐标变换，则算子应当左乘

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