用反变换法求解机器人运动学逆解 1基本原理 由式(3.2)知，6自由度机器人的运动学方程可以写成: 基于旋转子矩阵正交算法的实现 4.3.1基本原理 通过式((4.14)一式(4.17)，可以分别计算出第2 -- 5关节的关节变量，再选择式((4.8)的其他方程很容易求出剩下的两个关节变量。由于反复运用了内积与矩阵乘法进行矢量运算，方程的求解简单高效，同时更加明确地描述了逆运动学方程的结构和特性. 但是，由于式(4.14)一式((4.17)的计算过程中涉及求反正切函数和平方根，不可避免地出现正负号的问题，处理不好极易出现增根或封闭解求解不全的情况.可以根据式((4.10)和式((4.11)的相关限制条件和辅助方程(4.18)一(4.21)的验证筛选或补充求解来解决这个问题;有时，辅助方程还可以简化个别解的求解过程. 2实例求解 为了与可用于实时控制系统的反变换法进行对比，同样以钱江一号焊接机器人为例实现本算法.焊接机器人的D-H参数，见表3.1. 1求解方程式 3对比实例验证 在本章引言部分，介绍了很多运动学逆解的求解方法，可以说基于D-H方法的运动学逆解求解方法已经非常成熟。所以，当逆运动学问题基本解决了时，研究者们还在继续寻求安全、快速的求出全部解的方法。以上采用传统的反变换法和本文提出的算法分别求解出了钱江一号焊接机器人的封闭逆解。为了验证求解的准确性和比较两种算法的实时性能，取钱江一号焊接机器人在笛卡尔空间任意给定一个空间点的位姿，分别按照两种不同的方法求解出8组封闭逆运动学解，从而进行对比验证。 将表4.1中得到的8组机器人封闭逆解分别回代到机器人正运动学方程式(3.2)中，都可以得到一致的结果，即得到与式(4.32)相同的结果，从而验证了逆运动学算法的准确性和合理性。 4算法比较 1)关节变量求解 在4.2.2节和4.3.2节中，采用反变换法和基于旋转子矩阵正交的算法对钱江一号焊接机器人进行了运动学逆解求解.由于反变换法需要反复左乘齐次变换方程逆矩阵，再寻求合适的求解方程，通过求解6个常系数方程求解，因此计算过程较为复杂。而本文提出的基于旋转子矩阵正交的逆解算法不需要左乘逆矩阵，只需通过矢量运算，分别得到不同未知变量的4个常系数非线性方程，辅以其他方程，很容易求出其余两个变量，计算过程相对简单。 2)求解精度 由图4.2和图4.3可以看出:采用两种不同的算法均能得到机器人8组封闭逆解，并且结果完全相同，如表4.1.由于在VC一环境中编译和直接调用NEWMAT和CLAPCAK进行数学计算和矩阵运算，所以，两种算法均能使运动学逆解对应的末端位姿矩阵元素具有8位以上的精度，满足工程实际的需要。 3)实时性能 由图4.2和图4.3可以知:反变换法实例求解运动学逆解需要时间为0.11 ms,而在相同实验条件下对同一实例用本文提出的基于旋转子矩阵正交的算法解决逆解问题仅需要0.087 ms，较反变换法快0.023ms.因此，提出的算法比反变换法具有更好的实时性能，满足强实时在线控制的要求.

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